Докажите, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на 4.

Для того чтобы доказать, что из любых семи различных цифр можно составить число, которое делится на 4, необходимо вспомнить одно из важнейших свойств делимости на 4.

Число делится на 4, если его последние две цифры образуют число, которое делится на 4. Следовательно, для доказательства достаточно показать, что из любых семи различных цифр можно выбрать две цифры, такие, что они в комбинации образуют число, делящееся на 4.

Сначала, рассмотрим все возможные двузначные числа, которые можно составить из цифр 0-9. Таких чисел 100, поскольку для каждой цифры в числе существует 10 возможных вариантов, так что всего существует 100 различных двузначных чисел.

Теперь, если мы возьмем 7 различных цифр, то эти цифры могут образовывать несколько двузначных чисел. Важно заметить, что из 10 возможных цифр, для делимости на 4 подходят только те пары цифр, которые составляют число, делящееся на 4. Это число будет одно из 25 таких чисел: 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96. То есть из 100 возможных пар, только 25 дают числа, которые делятся на 4.

Поскольку у нас всего 7 цифр, из которых мы можем составить двузначные числа, среди них всегда можно найти хотя бы одну пару цифр, которая будет соответствовать одному из этих 25 чисел, которые делятся на 4. Поэтому, из любых семи различных цифр всегда можно составить число, которое делится на 4.