Вопрос задан 19.02.2026 в 17:36. Предмет Математика. Спрашивает Павлова Анюта.

Делится ли число: 1111...111 - 81 раз, на 81?

Перейти к ответам

Ответы на вопрос

Отвечает Хімко Оля.

Рассмотрим число вида
N=111111N = 111\ldots111 (единица повторяется 81 раз). Нужно понять, делится ли NN на 81.

1) Что значит делимость на 81

Так как 81=9981 = 9 \cdot 9, то делимость на 81 эквивалентна одновременной делимости на 9 и на 81 (понятно), но удобнее проверять именно на 9 и на 81 через остатки по модулю 81.

Сначала быстро проверим на 9:

  • Сумма цифр числа NN равна 8181, потому что там 81 единица.

  • 8181 делится на 9, значит NN делится на 9.

Но этого недостаточно: делимость на 9 не гарантирует делимость на 81.

2) Запишем число как геометрическую сумму

Число из 81 единицы можно записать так:

N=1+10+102++1080=108119.N = 1 + 10 + 10^2 + \cdots + 10^{80} = \frac{10^{81}-1}{9}.

Нужно проверить, делится ли NN на 81, то есть равен ли N0(mod81)N \equiv 0 \pmod{81}.

Эквивалентно проверить:

1081190(mod81)\frac{10^{81}-1}{9} \equiv 0 \pmod{81}

Это означает, что

108110(mod729)10^{81}-1 \equiv 0 \pmod{729}

потому что умножаем обе части на 9: если NN кратно 81, то 9N9N кратно 729=981729=9\cdot81, а 9N=108119N = 10^{81}-1.

То есть условие делимости сводится к:

10811(mod729).10^{81} \equiv 1 \pmod{729}.

3) Посчитаем порядок числа 10 по модулю 729

Заметим, что 729=36729 = 3^6, а gcd(10,729)=1\gcd(10,729)=1, значит можно пользоваться свойствами степеней по модулю.

Известно (и легко проверяется на малых степенях 3), что:

  • 101(mod9)10 \equiv 1 \pmod{9},

  • но по более высокой степени тройки это уже не так.

Посчитаем аккуратно ключевые степени:

Шаг 1: 10310^3 по модулю 27

103=1000,10001=999,999=2737.10^3 = 1000,\quad 1000 - 1 = 999,\quad 999 = 27\cdot 37.

Значит

1031(mod27).10^3 \equiv 1 \pmod{27}.

Шаг 2: перейти к модулю 729
Рассмотрим 103=1+27k10^3 = 1 + 27k, где k=37k=37.
Тогда

1081=(103)27=(1+27k)27.10^{81} = (10^3)^{27} = (1+27k)^{27}.

Разложим по биному Ньютона по модулю 729. Нам важны только члены, которые могут не исчезнуть по модулю 729=272729=27^2.

(1+27k)27=1+(271)(27k)+(272)(27k)2+(1+27k)^{27} = 1 + \binom{27}{1}(27k) + \binom{27}{2}(27k)^2 + \cdots
  • Первый добавочный член:

(271)(27k)=2727k=729k,\binom{27}{1}(27k)=27\cdot 27k = 729k,

он точно кратен 729, значит исчезает по модулю 729.

  • Любой член начиная со второго содержит (27k)2=729k2(27k)^2 = 729k^2, то есть тоже кратен 729 и тоже исчезает.

Значит целиком:

(1+27k)271(mod729).(1+27k)^{27} \equiv 1 \pmod{729}.

То есть действительно:

10811(mod729).10^{81} \equiv 1 \pmod{729}.

4) Вывод

Получили, что 1081110^{81}-1 делится на 729, а значит 108119\dfrac{10^{81}-1}{9} делится на 81.

Следовательно, число 111111111\ldots111 (81 единица) делится на 81.

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Математика 24.04.2025 20:48 452 Мирошник Алексей

Последние заданные вопросы в категории Математика

Математика 10.12.2025 11:47 25 Васильева Александра
Задать вопрос