Решить задачу: требуется огородить сеткой длиной 600 м зону отдыха прямоугольной формы, прилегающую к реке. Определите, каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь.

Для того чтобы решить эту задачу, можно использовать методы дифференциального исчисления, поскольку задача сводится к поиску максимума площади при заданной длине ограды.

Предположим, что длина участка, который нужно огородить, равна $L$, а ширина участка — $W$. Участок прямоугольной формы прилегает к реке с одной стороны, то есть одну сторону ограды можно не строить.

Шаг 1: Составление уравнения для периметра

Периметр огороженной части участка состоит из двух длинных сторон $L$ (вдоль реки) и двух коротких сторон $W$ (параллельных реке). Поскольку общая длина сетки ограничена 600 метрами, можно записать уравнение для периметра:

Шаг 2: Выражение площади через одну переменную

Площадь прямоугольного участка $A$ равна произведению длины на ширину:

Используя уравнение для периметра, можно выразить $L$ через $W$:

Теперь подставим это выражение для $L$ в формулу площади:

Раскроем скобки:

Шаг 3: Нахождение максимума площади

Для нахождения максимума функции площади $A$, нужно найти производную от $A$ по $W$ и приравнять её к нулю:

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критическую точку:

Решим это уравнение:

Шаг 4: Проверка, что найденная точка действительно является максимумом

Чтобы удостовериться, что точка $W = 150$ соответствует максимуму, нужно вычислить вторую производную функции площади:

Поскольку вторая производная отрицательна, это означает, что функция $A$ имеет максимум при $W = 150$.

Шаг 5: Нахождение длины $L$

Теперь, зная ширину $W = 150$, можно найти длину $L$:

Ответ: Для того чтобы площадь участка была максимальной, его размеры должны быть: длина $L = 300$ метров и ширина $W = 150$ метров.