1. Найдите значение производной функции в точке \( x_0 \): \( y = \frac{\ln x}{x} \), \( x_0 = e \). 2. Найдите значения \( x \), при которых значение производной функции \( f(x) \) равно 0, если: а) \( f(x) = (x + 3)^3 (x - 4)^2 \) б) \( f(x) = x^5 - 5x^3 - 20x \)

Задача 1. Найдите значение производной функции в точке $x_0 = e$, где $y = \frac{\ln x}{x}$.

Для начала найдём производную функции $y = \frac{\ln x}{x}$. Для этого будем использовать правило дифференцирования дроби (правило частного):

где $u = \ln x$, а $v = x$.

1. Производная $u = \ln x$ равна $u' = \frac{1}{x}$.

2. Производная $v = x$ равна $v' = 1$.

Теперь подставляем в формулу:

Упростим:

Теперь найдём значение производной в точке $x_0 = e$:

Так как $\ln e = 1$, то получаем:

Значение производной функции в точке $x_0 = e$ равно 0.

Задача 2. Найдите значения $x$, при которых значение производной функции $f(x)$ равно 0.

а) $f(x) = (x + 3)^3 (x - 4)^2$

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом произведения:

где $u = (x + 3)^3$ и $v = (x - 4)^2$.

1. Производная $u = (x + 3)^3$ по правилу степени:

2. Производная $v = (x - 4)^2$ также по правилу степени:

Теперь подставляем в формулу для производной:

Приводим к общему виду:

Упростим скобки: