решить неравенство sin 2x>0

Чтобы решить неравенство $\sin(2x) > 0$, давайте разобьем решение на несколько шагов:

1. Разбор неравенства $\sin(2x) > 0$:

   Сначала определим, при каких значениях аргумента синуса функция будет больше нуля. Синус положителен, когда его аргумент находится в интервалах:

   $$(0, \pi), (2\pi, 3\pi), (4\pi, 5\pi), \dots$$

   То есть, синус положителен на каждом промежутке от $2n\pi$ до $(2n+1)\pi$, где $n$ — целое число.

2. Замена аргумента:

   В нашем случае аргумент синуса — это $2x$, а значит, нужно решить неравенство для $2x$. Нам нужно найти, когда:

   $$0 < 2x < \pi, \quad 2\pi < 2x < 3\pi, \quad 4\pi < 2x < 5\pi, \dots$$

   То есть, необходимо решить для $x$ такие неравенства:

   $$0 < 2x < \pi \quad \text{и} \quad 2\pi < 2x < 3\pi \quad \text{и} \quad 4\pi < 2x < 5\pi \quad \dots$$

3. Решаем каждое неравенство:

   Для первого интервала:

   $$0 < 2x < \pi \quad \Rightarrow \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}$$

   Для второго интервала:

   $$2\pi < 2x < 3\pi \quad \Rightarrow \quad \pi < x < \frac{3\pi}{2}$$

   Для третьего интервала:

   $$4\pi < 2x < 5\pi \quad \Rightarrow \quad 2\pi < x < \frac{5\pi}{2}$$

   И так далее.

4. Общий ответ:

   Таким образом, решение неравенства $\sin(2x) > 0$ будет представлять собой объединение интервалов:

   $$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(2\pi, \frac{5\pi}{2}\right) \cup \dots$$

   То есть, $x$ принадлежит интервалам вида $\left( n\pi, (n+1)\pi \right)$, где $n$ — нечетное число.

Ответ: $x \in \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} \left( n\pi, (n+1)\pi \right)$, где $n$ нечетное.