Найдите промежутки возрастания функции: y = 2x³ + x² - 8x - 7.

Для нахождения промежутков возрастания функции $y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции.

Производная функции $y = 2x^3 + x^2 - 8x - 7$ показывает, как изменяется функция на различных участках. Производная будет:

2. Найдем критические точки.

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

Решим это квадратное уравнение:

Можно разделить обе части уравнения на 2:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант равен:

Для $a = 3$, $b = 1$, $c = -4$:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Находим их:

Таким образом, два корня:

Таким образом, критические точки — это $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{4}{3}$.

3. Определим знаки производной.

Теперь, чтобы найти промежутки возрастания функции, нужно изучить знаки производной на промежутках, разделенных найденными критическими точками $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{4}{3}$. Эти промежутки будут:

• $(-\infty, -\frac{4}{3})$

• $(-\frac{4}{3}, 1)$

• $(1, \infty)$

Для этого подставим значения из каждого промежутка в производную $y' = 6x^2 + 2x - 8$.

1. На промежутке $(-\infty, -\frac{4}{3})$: Подставим $x = -2$ в производную:

Знак производной положительный, значит, на промежутке $(-\infty, -\frac{4}{3})$ функция возрастает.