Определить промежутки возрастания и убывания функции. Найти экстремум функции. y = x × e^(-3x)

Рассмотрим функцию

1) Производная и критические точки

Найдём производную по правилу произведения:

Вынесем общий множитель $e^{-3x}$:

Критические точки: $y'=0$. Поскольку $e^{-3x}>0$ при любом $x$, то

Значит, единственная критическая точка: $x=\frac13$.

2) Промежутки возрастания и убывания

Знак производной определяется знаком множителя $(1-3x)$, потому что $e^{-3x}>0$.

• Если $x<\frac13$, то $1-3x>0$, значит $y'>0$ — функция возрастает.

• Если $x>\frac13$, то $1-3x<0$, значит $y'<0$ — функция убывает.

Итак:

• функция возрастает на $\;(-\infty,\;\frac13)$;

• функция убывает на $\;(\frac13,\;+\infty)$.

3) Экстремум

В точке $x=\frac13$ производная меняет знак с «плюса» на «минус», значит это максимум.

Найдём значение функции в этой точке:

Ответ

• Возрастает: $\;(-\infty,\;\frac13)$.

• Убывает: $\;(\frac13,\;+\infty)$.

• Экстремум: максимум при $\;x=\frac13$, значение $\;y_{\max}=\frac{1}{3e}$.

• Минимума (локального) нет.