Решите уравнение, используя введение новой переменной: (t² - 2t)² - 3 = 2(t² - 2t).

Для решения уравнения $(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)$ с использованием введения новой переменной, начнем с того, что упростим выражения.

1. Введем новую переменную:
   Пусть $x = t^2 - 2t$. Таким образом, уравнение примет вид:

   $$x^2 - 3 = 2x$$

2. Перепишем уравнение:

   $$x^2 - 3 = 2x$$

   Переносим все члены на одну сторону:

   $$x^2 - 2x - 3 = 0$$

3. Решим полученное квадратное уравнение:

   $$x^2 - 2x - 3 = 0$$

   Для решения используем формулу дискриминанта. Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   Здесь $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$:

   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

   Корни уравнения можно найти по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

4. Теперь возвращаемся к переменной $t$. Мы знаем, что $x = t^2 - 2t$, поэтому решаем два уравнения:

   • $t^2 - 2t = 3$

   • $t^2 - 2t = -1$

   Для первого уравнения $t^2 - 2t = 3$:

   $$t^2 - 2t - 3 = 0$$

   Решаем это квадратное уравнение:

   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

   Корни:

   $$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 4}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3, \quad t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$$

   Для второго уравнения $t^2 - 2t = -1$:

   $$t^2 - 2t + 1 = 0$$

   Это квадратное уравнение:

   $$(t - 1)^2 = 0$$

   Получаем единственный корень:

   $$t = 1$$

5. Таким образом, все решения уравнения:

   $$t = 3, \quad t = -1, \quad t = 1$$