Докажите тождество: 1) ((sint+cost)^2-1)/tgt-sintcost=2ctg^2t 2)((1-4sin^2tcos^2t)/(sint+cost)^2)+2sintcost=1

1) Доказать: $\dfrac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\tg t}-\sin t\cos t=2\ctg^2 t$

Преобразуем по шагам.

1. Раскроем квадрат:

Тогда

2. Подставим в левую часть:

3. Заменим $\tg t=\dfrac{\sin t}{\cos t}$:

Значит левая часть равна

Теперь сравним с правой частью:

Видно, что выражение $2\cos^2 t-\sin t\cos t$ не равно тождественно $\dfrac{2\cos^2 t}{\sin^2 t}$ (например, при $t=\frac{\pi}{4}$: слева $2\cdot\frac12-\frac12=\frac12$, справа $2\cdot1=2$).

Следовательно, в пункте 1 в условии есть ошибка (опечатка): данное равенство не является тождеством в записанном виде.

2) Доказать: $\left(\dfrac{1-4\sin^2 t\cos^2 t}{(\sin t+\cos t)^2}\right)+2\sin t\cos t=1$

Докажем аккуратно.

Обозначим $s=\sin t$, $c=\cos t$. Тогда нужно доказать:

1. Заметим, что

2. А также:

поскольку $s^2+c^2=1$.

3. Подста