С помощью графиков определите сколько корней имеет уравнение,и найдите эти корни: х^3+x-2=0

Ответы на вопрос

Отвечает Ferecov Arif.

Рассмотрим функцию

f(x)=x^3+x-2

Корни уравнения $x^3+x-2=0$ — это точки пересечения графика $y=f(x)$ с осью $Ox$ (то есть где $f(x)=0$ ).

1) Сколько корней? (по поведению графика)

Найдём, как ведёт себя график: исследуем монотонность.

f'(x)=3x^2+1

Заметим, что для любого $x$

3x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2+1>0

То есть производная всегда положительна, значит функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой оси.

Что это даёт “по графику”:

строго возрастающая непрерывная функция может пересечь ось $Ox$ не более одного раза;
если она где-то меняет знак (например, была отрицательной, стала положительной), то пересечение точно есть и оно единственное.

Проверим знак на двух точках:

f(0)=0^3+0-2=-2<0

f(2)=2^3+2-2=8>0

Значит, между $0$ и $2$ функция пересекает ноль, и так как она строго возрастает, пересечение ровно одно.

Вывод: уравнение имеет 1 действительный корень.

Попробуем подставить простые значения:

f(1)=1^3+1-2=0

Значит,

x=1

— корень уравнения.

Поскольку действительный корень единственный, это и есть все действительные корни.

\boxed{x=1}

Последние заданные вопросы в категории Математика