Существует ли натуральное число, которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел?

Да — такое число есть.

Пусть $n$ — натуральное число и оно равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел. Тогда

Решим это уравнение шаг за шагом:

умножаем на 2:

переносим в одну сторону:

раскрываем скобки и приводим подобные:

выносим $n$ за скобку:

Отсюда $n=0$ или $n=3$.

Если под натуральными числами понимают $1,2,3,\dots$, то единственное решение — $n=3$ (проверка: $1+2=3$). Если же в множество натуральных чисел включают $0$, то $n=0$ также формально удовлетворяет условию (сумма пустого набора = 0). Для $n=1$ и $n=2$ равенство не выполняется, а для $n\ge4$ левая часть $\frac{(n-1)n}{2}$ строго больше $n$, так что других решений нет.