Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Так как три окружности попарно касаются внешним образом, расстояние между центрами каждой пары равно сумме их радиусов.

Обозначим центры окружностей радиусов $2,3,10$ как $A,B,C$ соответственно. Тогда стороны треугольника $ABC$:

• $AB = 2+3 = 5$

• $AC = 2+10 = 12$

• $BC = 3+10 = 13$

Получили треугольник со сторонами $5,12,13$. Проверим, прямоугольный ли он:

Значит, треугольник прямоугольный, причём гипотенуза равна $13$, а катеты $5$ и $12$.

Теперь найдём радиус вписанной в этот треугольник окружности (радиус вписанной окружности — это $r$).

Для прямоугольного треугольника с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ выполняется формула:

Подставим $a=5$, $b=12$, $c=13$:

Ответ: радиус вписанной окружности равен $2$.