Докажите, что функция \( F(x) = e^{3x} + \cos x + x \) является первообразной функции \( f(x) = 3e^{3x} - \sin x + 1 \).

Чтобы доказать, что функция $F(x)=e^{3x}+\cos x+x$ является первообразной функции $f(x)=3e^{3x}-\sin x+1$, нужно по определению первообразной проверить, что производная $F'(x)$ равна $f(x)$ на всей области определения.

Шаг 1. Найдём производную $F(x)$:

Дифференцируем по частям, используя линейность производной:

Шаг 2. Вычислим производные каждого слагаемого:

1. Производная $e^{3x}$.
   Используем правило цепочки: если $u=3x$, то $(e^{u})'=e^{u}\cdot u'$.
   Здесь $u'=3$, значит:

2. Производная $\cos x$:

3. Производная $x$:

Шаг 3. Сложим результаты:

Шаг 4. Сравним с $f(x)$:
Дано:

Мы получили:

Следовательно, по определению первообразной, функция $F(x)=e^{3x}+\cos x+x$ действительно является первообразной функции $f(x)=3e^{3x}-\sin x+1$.