Найти точки экстремума: a) f(x)=1/2x^4-x^2 б) f(x)=9+8x^2-x^4

Для нахождения точек экстремума функции необходимо выполнить несколько шагов: вычислить первую производную функции, приравнять её к нулю и найти значения $x$, соответствующие экстремумам. Проверим эти шаги для обеих функций.

1. Функция $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - x^2$

Шаг 1: Найдем первую производную.

Шаг 2: Приравняем производную к нулю.

Вынесем за скобки:

Решаем уравнение:

Таким образом, точки $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$ являются кандидатами на экстремумы.

Шаг 3: Проверим, являются ли эти точки экстремумами.

Для этого используем вторую производную функции:

Проверим вторую производную в найденных точках:

• В точке $x = 0$:

Поскольку $f''(0) < 0$, точка $x = 0$ — максимум.

• В точке $x = 1$:

Поскольку $f''(1) > 0$, точка $x = 1$ — минимум.

• В точке $x = -1$:

Поскольку $f''(-1) > 0$, точка $x = -1$ — минимум.

Ответ для пункта (а):

• Точка $x = 0$ — максимум.

• Точки $x = 1$ и $x = -1$ — минимумы.

2. Функция $f(x) = 9 + 8x^2 - x^4$

Шаг 1: Найдем первую производную.

Шаг 2: Приравняем производную к нулю.

Вынесем за скобки:

Решаем уравнение:

Таким образом, точки $x = -2$, $x = 0$ и $x = 2$ являются кандидатами на экстремумы.

Шаг 3: Проверим, являются ли эти точки экстремумами.

Для этого используем вторую производную функции:

Проверим вторую производную в найденных точках:

• В точке $x = 0$