При каких m функция y=|x|(x-1)-5x имеет с графиком y=m ровно 2 общие точки?

Давай разберём задачу шаг за шагом.

Нам дана функция:

и нужно найти все значения $m$, при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно в двух точках.

1. Разделим функцию на два случая по модулю

Следовательно, функция примет вид:

1. Для $x \ge 0$:

2. Для $x < 0$:

Итак, функция кусочно-квадратичная:

2. Рассмотрим пересечение с прямой $y = m$

Нам нужно, чтобы прямая имела ровно 2 точки пересечения. Посмотрим, как это работает для каждой части:

a) Для $x \ge 0$: $y = x^2 - 6x$

Уравнение $x^2 - 6x = m$ имеет дискриминант:

• Чтобы были действительные решения: $D \ge 0 \implies m \ge -9$

• Чтобы была ровно одна точка в положительной части (на границе $x \ge 0$) нужно учитывать знак решений.

Корни:

Так как $x \ge 0$, берём только те корни, которые $\ge 0$.

b) Для $x < 0$: $y = -x^2 - 4x$

Уравнение $-x^2 - 4x = m \implies x^2 + 4x + m = 0$

Дискриминант:

• Действительные решения: $D \ge 0 \implies m \le 4$

• Корни: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4m}}{2} = -2 \pm \sqrt{4 - m}$

Так как $x < 0$, берём корни < 0.

3. Условие для ровно двух пересечений

Прямая может пересекать кусочную параболу:

• Один корень слева и один справа ($x < 0$ и $x \ge 0$) → всего 2 точки.

• Или два корня в одной части параболы, но тогда на другой части пересечения не должно быть → тоже 2 точки.

Случай A: Один корень слева, один справа

• Справа ($x \ge 0$):

• Если $3 - \sqrt{9 + m} \ge 0 \implies \sqrt{9 + m} \le 3 \implies 9 + m \le 9 \implies m \le 0$