Как представить обыкновенную дробь в виде периодической дроби? 5/9, 7/9

Представить обыкновенную дробь в виде периодической дроби — это значит записать её в виде десятичного числа, у которого часть цифр после запятой повторяется бесконечно. Дроби, у которых знаменатель при сокращении не имеет других простых множителей, кроме 2 и 5, дают конечные десятичные дроби. Остальные дроби дают периодические дроби.

Разберём на ваших примерах.

1. Дробь 5/9

1. Делим числитель на знаменатель: $5 ÷ 9$.

2. Пошаговое деление:

• 9 в 5 не помещается, ставим запятую: 0,

• 50 ÷ 9 = 5 (остаток 5),

• 50 ÷ 9 снова 5, остаток опять 5,

• И так далее.

Видно, что цифра 5 повторяется бесконечно.

Итог:

Здесь 5 — период.

2. Дробь 7/9

1. Делим 7 на 9: $7 ÷ 9$.

2. Пошаговое деление:

• 9 в 7 не помещается → 0,

• 70 ÷ 9 = 7 (остаток 7),

• 70 ÷ 9 снова 7, остаток опять 7,

• И так далее.

Итог:

Здесь 7 — период.

Общая методика

1. Делите числитель на знаменатель с остатком.

2. Если остатки начинают повторяться, цифры, соответствующие этим остаткам, образуют период.

3. Записываете неповторяющуюся часть (если есть) и период в виде надчеркивания над цифрами.

Для дробей вида $\frac{k}{9}$ период всегда состоит из одной цифры: эта цифра равна $k$.

Если хотите, могу показать, как находить период для более сложных дробей, например с 7 или 13 в знаменателе.