Найдите наибольшее значение функции у=8cos x - 27/п x+8 на отрезке [ -2п/3; 0 ]

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 8 \cos x - \frac{27}{\pi} x + 8$ на отрезке $\left[-\frac{2\pi}{3}, 0\right]$, нужно выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдем производную функции

Для нахождения критических точек функции необходимо взять её производную:

Производная от $8 \cos x$ равна $-8 \sin x$, а производная от $-\frac{27}{\pi} x$ равна $-\frac{27}{\pi}$. Производная от константы 8 равна 0. Таким образом:

Шаг 2: Найдем критические точки

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

При этом значение $-\frac{27}{8\pi} \approx -0.107$, что лежит в допустимом диапазоне для синуса, поскольку $\sin x$ всегда принимает значения в пределах от -1 до 1.

Теперь решим уравнение:

Значение $\arcsin\left(-\frac{27}{8\pi}\right)$ вычисляется как:

Шаг 3: Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке

Теперь, когда у нас есть критическая точка $x \approx -0.134$, нужно вычислить значения функции в критической точке и на концах отрезка $x = -\frac{2\pi}{3}$ и $x = 0$.

1. При $x = -\frac{2\pi}{3}$:

2. При $x = 0$:

3. При $x \approx -0.134$:

Шаг 4: Определим наибольшее значение

Сравнив значения функции:

• $y\left( -\frac{2\pi}{3} \right) = 22$

• $y(0) = 16$

• $y\left( -0.134 \right) \approx 17.08$