Переведите периодическую дробь в обыкновенную: а) 0,(6) б) 0,(31) в) 1,(3) г) 1,3(7)

Чтобы перевести периодическую дробь в обыкновенную, можно использовать общий метод, который включает в себя выделение целой части и решение соответствующих уравнений для дробной части.

а) 0,(6)

Обозначим эту дробь как $x = 0,6666\ldots$. В этом случае периодическая часть — это "6".

1. Умножим обе части уравнения на 10 (чтобы сдвинуть запятую на одну цифру вправо):
   $10x = 6,6666\ldots$

2. Теперь вычитаем исходное уравнение $x = 0,6666\ldots$ из этого:
   $10x - x = 6,6666\ldots - 0,6666\ldots$
   $9x = 6$

3. Разделим обе части на 9:
   $x = \frac{6}{9}$

4. Сократим дробь:
   $x = \frac{2}{3}$

Ответ: $0,(6) = \frac{2}{3}$.

б) 0,(31)

Обозначим дробь как $x = 0,313131\ldots$, где периодическая часть — это "31".

1. Умножим обе части уравнения на 100 (чтобы сдвинуть запятую на два знака):
   $100x = 31,313131\ldots$

2. Вычитаем исходное уравнение $x = 0,313131\ldots$ из этого:
   $100x - x = 31,313131\ldots - 0,313131\ldots$
   $99x = 31$

3. Разделим обе части на 99:
   $x = \frac{31}{99}$

Ответ: $0,(31) = \frac{31}{99}$.

в) 1,(3)

Обозначим дробь как $x = 1,3333\ldots$, где периодическая часть — это "3".

1. Умножим обе части уравнения на 10:
   $10x = 13,3333\ldots$

2. Вычитаем исходное уравнение $x = 1,3333\ldots$ из этого:
   $10x - x = 13,3333\ldots - 1,3333\ldots$
   $9x = 12$

3. Разделим обе части на 9:
   $x = \frac{12}{9}$

4. Сократим дробь:
   $x = \frac{4}{3}$

Ответ: $1,(3) = \frac{4}{3}$.

г) 1,3(7)

Обозначим дробь как $x = 1,377777\ldots$, где периодическая часть — это "7".

1. Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть десятичную точку:
   $10x = 13,777777\ldots$

2. Вычитаем исходное уравнение $x = 1,377777\ldots$ из этого:
   $10x - x = 13,777777\ldots - 1,377777\ldots$
   $9x = 12,4$

3. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичной точки:
   $90x = 124$

4. Разделим обе части на 90:
   $x = \frac{124}{90}$

5. Сократим дробь:
   $x = \frac{62}{45}$

Ответ: $1,3(7) = \frac{62}{45}$.