Отличник Вася записал в тетради все пятизначные числа, у которых каждая последующая цифра не больше

Ответы на вопрос

Отвечает Екимова Александра.

Нужно посчитать все пятизначные числа вида

\overline{abcde},

где

a \ge b \ge c \ge d \ge e.

То есть цифры идут слева направо невозрастающе: каждая следующая цифра не больше предыдущей.

Например, подходят числа:

99999,\ 98765,\ 55510,\ 32100,\ 10000.

Не подходят:

12345,\ 54356,\ 22021,

потому что где-то следующая цифра становится больше предыдущей.

Заметим важную вещь: если взять любые 5 цифр от 0 до 9, то их можно единственным образом расставить в невозрастающем порядке. Например, набор цифр

0, 2, 2, 5, 7

даёт ровно одно подходящее число:

75220.

Значит, задача сводится к тому, чтобы выбрать 5 цифр из 10 возможных цифр

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

с повторениями, потому что цифры в числе могут повторяться.

Количество способов выбрать 5 элементов из 10 видов с повторениями равно

C_{10+5-1}^{5}=C_{14}^{5}.

Вычислим:

C_{14}^{5}=\frac{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=2002.

Но среди этих вариантов есть набор

0,0,0,0,0,

который даёт число

00000,

а это не пятизначное число. Его нужно исключить.

Поэтому получаем:

2002-1=2001.

Ответ:

\boxed{2001}

Отличник Вася записал в тетради все пятизначные числа, у которых каждая последующая цифра не больше предыдущей. Сколько чисел записал Вася?