Доказать, что число ab-ba делится на 9, а число ab+ba - на 11

Пусть $ab$ и $ba$ — это двузначные числа, записанные цифрами $a$ и $b$. То есть:

а

Здесь $a$ и $b$ — цифры, причём $a\neq 0$, если число $ab$ двузначное, и $b\neq 0$, если число $ba$ тоже двузначное.

Докажем первое утверждение:

делится на $9$.

Подставим вместо $ab$ и $ba$ их значения:

Раскроем скобки:

Сгруппируем похожие слагаемые:

Вынесем $9$ за скобки:

Получилось число вида $9\cdot (a-b)$. Значит, оно обязательно делится на $9$.

Следовательно,

Теперь докажем второе утверждение:

делится на $11$.

Снова заменим числа $ab$ и $ba$ их выражениями через цифры:

Раскроем скобки:

Сгруппируем похожие слагаемые:

Вынесем $11$ за скобки:

Получилось число вида $11\cdot (a+b)$. Значит, оно обязательно делится на $11$.

Следовательно,

Итак,

поэтому $ab-ba$ делится на $9$, а

поэтому $ab+ba$ делится на $11$.