Даны функции f(x) = -x^2 + 2x - 3 и g(x) = x^2 + 2. Напишите уравнение общей касательной к графикам функций y = f(x) и y = g(x).

Ищем общую касательную в виде

Она должна быть касательной и к графику

и к графику

1. Условие касания к графику $y=g(x)$

Пусть касательная касается графика $g(x)=x^2+2$ в точке с абсциссой $x=a$.

Производная:

Значит, угловой коэффициент касательной равен

откуда

Уравнение касательной к $g(x)$:

Подставим:

Так как $2a=k$, то $a=\frac{k}{2}$, поэтому

Значит, для касательной к $g(x)$

2. Условие касания к графику $y=f(x)$

Теперь пусть та же прямая касается графика

Производная:

Пусть касание происходит при $x=c$. Тогда

Отсюда

Уравнение касательной:

Свободный член такой прямой равен

Найдём $f(c)$. Заметим, что

Так как

то

Значит,

Теперь

Раскроем скобки: