1.Известно, что а > b. Сравните: а) 21а и 21b; б) -3,2а и -3,2b; в) а + 8 и b + 8. 2.Докажите неравенство: а) (х + 7)² > х(х + 14); б) b² + 5 ≥ 10(b - 2). 3.Известно, что 3,1 < √10 < 3,2. Оцените: а) 3√10; б) -√10. 4.Зная, что 7,2 < а < 8,4 и 2 < b < 2,5, оцените: а) ab; б) -2a + b. 5.Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6 и 3,2 < b < 3,3.

Хорошо, разберём все пункты подробно, шаг за шагом, как на сайте с вопросами и ответами.

1. Сравните числа

Известно, что $a > b$.

а) 21a и 21b
Если $a > b$, то при умножении на положительное число (21 > 0) неравенство сохраняется:

б) -3,2a и -3,2b
Если умножить на отрицательное число (-3,2 < 0), то направление неравенства меняется:

в) a + 8 и b + 8
При сложении одинакового числа (8) с обеих сторон неравенство сохраняется:

2. Докажите неравенство

а) $(x + 7)^2 > x(x + 14)$

Раскроем скобки:

Вычтем $x^2 + 14x$ из обеих частей:

Значит, $(x + 7)^2 > x(x + 14)$ для любого x.

б) $b^2 + 5 \ge 10(b - 2)$

Переносим всё в левую часть:

Раскладываем как квадрат:

Квадрат любого числа ≥ 0, значит неравенство доказано.

3. Оцените значения

Известно: $3,1 < \sqrt{10} < 3,2$

а) 3√10
Умножаем все части на 3:

б) -√10
Умножаем на -1 и меняем направление неравенства:

4. Оцените значения с учётом интервалов

Известно: $7,2 < a < 8,4$ и $2 < b < 2,5$

а) ab
Минимальное значение $ab$ достигается при минимальных a и b:

Максимальное значение $ab$ при максимальных a и b:

Значит:

б) -2a + b
Сначала найдём минимальное и максимальное значение:

• Для $-2a + b$ $-2a$ уменьшает значение при увеличении a, а +b увеличивает при увеличении b.

• Минимум: $-2a_{\max} + b_{\min} = -2\cdot 8,4 + 2 = -16,8 + 2 = -14,8$

• Максимум: $-2a_{\min} + b_{\max} = -2\cdot 7,2 + 2,5 = -14,4 + 2,5 = -11,9$

Значит: