Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки (1; -1; 2) и (3; 2; 1).

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через три точки, сначала нужно воспользоваться векторным методом. У нас есть три точки:

1. Составим два вектора, лежащих в плоскости:

2. Найдем вектор нормали к плоскости. Вектор нормали $\vec{n} = (a, b, c)$ перпендикулярен любым векторам в плоскости, поэтому можно найти его через векторное произведение:

Считаем детерминант:

Считаем по шагам:

• Коэффициент при $\mathbf{i}$: $(-1) * 1 - 2 * 2 = -1 - 4 = -5$

• Коэффициент при $\mathbf{j}$: $-(1*1 - 2*3) = -(1 - 6) = 5$

• Коэффициент при $\mathbf{k}$: $1*2 - (-1*3) = 2 + 3 = 5$

Итак, $\vec{n} = (-5, 5, 5)$.

3. Уравнение плоскости через точку и нормаль:
   Общее уравнение плоскости:

Мы можем взять точку $A(0,0,0)$, тогда:

Можно разделить на 5 для упрощения:

Или эквивалентно:

✅ Ответ:

Это уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки (1, -1, 2) и (3, 2, 1).