Y=x/(9-x^2). Найти промежутки монотонности функции, её экстремумы.

Дана функция:

\[y=\frac{x}{9-x^2}\]

Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю.

\[9-x^2\ne0\]

\[x\ne -3,\quad x\ne 3\]

Найдём производную:

\[y'=\frac{(9-x^2)\cdot1-x\cdot(-2x)}{(9-x^2)^2}\]

\[y'=\frac{9-x^2+2x^2}{(9-x^2)^2}\]

\[y'=\frac{x^2+9}{(9-x^2)^2}\]

Числитель \(x^2+9\) всегда положителен, знаменатель \((9-x^2)^2\) тоже положителен при \(x\ne\pm3\). Значит, \(y'>0\) на всей области определения.

Функция возрастает на промежутках:

\[(-\infty;-3),\quad(-3;3),\quad(3;+\infty)\]

Так как производная нигде не равна нулю, а точки \(x=-3\) и \(x=3\) не входят в область определения, экстремумов нет.

Ответ: функция возрастает на \((-\infty;-3)\), \((-3;3)\), \((3;+\infty)\); экстремумов нет.

0 0 Пожаловаться