Помогите решить математику, тема предел последовательности
Lim= n/n^2+3
Lim=5n^2-2n+7/2n^2+1
Lim=2^n/2^(n+1)+2
Lim= ( корень из n - корень n-1)

Решим пределы по порядку.

1) \[\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+3}=0\]

Степень числителя меньше степени знаменателя, поэтому дробь стремится к нулю.

2) \[\lim_{n \to \infty} \frac{5n^2-2n+7}{2n^2+1}=\frac{5}{2}\]

Берём коэффициенты при старшей степени \(n^2\): сверху \(5\), снизу \(2\).

3) \[\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{2^{n+1}+2}=\frac{1}{2}\]

Так как \(2^{n+1}=2 \cdot 2^n\), получаем:

\[\frac{2^n}{2^{n+1}+2}=\frac{2^n}{2 \cdot 2^n+2}=\frac{1}{2+\frac{2}{2^n}}\]

При \(n \to \infty\) дробь \(\frac{2}{2^n}\) стремится к \(0\), значит предел равен \(\frac{1}{2}\).

4) \[\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)=0\]

Домножим на сопряжённое выражение:

\[\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\]

Знаменатель растёт, поэтому дробь стремится к \(0\).

0 0 Пожаловаться