Как извлечь корень из комплексного числа?

Чтобы извлечь корень из комплексного числа, удобно сначала записать его в тригонометрической форме.

Пусть дано число \( z = a + bi \). Сначала находим его модуль:

\[ r = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Затем находим аргумент \( \varphi \), то есть угол, который число образует с положительным направлением действительной оси.

Тогда комплексное число можно записать так:

\[ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi) \]

Корни степени \( n \) находятся по формуле:

\[ w_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right) \]

где \( k = 0, 1, 2, ..., n - 1 \). Получается ровно \( n \) разных корней.

0 0 Пожаловаться