В классе 5 мальчиков и 3 девочки. Сколькими способами они могут расположиться в ряд, чтобы позиции на концах заняли мальчики, и никакие две девочки не стояли рядом?

Решим задачу по шагам.

1. Мальчики на концах. На первом и последнем месте обязательно должны стоять мальчики. Выбрать мальчика на левый конец можно 5 способами, на правый — 4 способами (так как один уже занят). Всего способов расставить мальчиков по концам: \(5 \times 4 = 20\)

2. Расстановка в середине. Осталось 3 мальчика и 3 девочки. Их нужно разместить на 6 средних позициях так, чтобы никакие две девочки не стояли рядом. Сначала расставим трёх оставшихся мальчиков. Это можно сделать \(3! = 6\) способами. Они создают 4 промежутка (перед первым, между ними и после последнего), куда можно поставить девочек. Чтобы девочки не соприкасались, в каждый промежуток можно поместить не более одной девочки. Нам нужно выбрать 3 промежутка из 4 — это \( C(4,3) = 4 \) способа. Затем расставить трёх девочек по выбранным местам: \(3! = 6\) способов. Итого вариантов для середины: \(6 \times 4 \times 6 = 144\)

3. Общее число способов. Перемножаем результаты двух шагов: \(20 \times 144 = 2880\)

Ответ: 2880 способов.

0 0 Пожаловаться