Построить линию регрессии Y на X, отобразить графически выборочные данные. Найти выборочный коэффициент корреляции и проверить его значимость. X: 0.5, 7.7, 5.4, 3.7, 3.6. Y: -3.2, 1.2, 0.2, -0.6, -1.1.

Даны пары наблюдений \((X;Y)\): \((0.5;-3.2)\), \((7.7;1.2)\), \((5.4;0.2)\), \((3.7;-0.6)\), \((3.6;-1.1)\).

Средние значения:

\[ \overline X=3.98, \quad \overline Y=-0.7 \]

Для линии регрессии \(Y\) на \(X\) используем вид:

\[ \hat Y=a+bX \]

Получаем:

\[ b=\frac{\sum (x_i-\overline X)(y_i-\overline Y)}{\sum (x_i-\overline X)^2}=\frac{17.17}{28.188}\approx 0.609 \]

\[ a=\overline Y-b\overline X=-0.7-0.609\cdot 3.98\approx -3.124 \]

Линия регрессии:

\[ \hat Y=-3.124+0.609X \]

Для графика нужно нанести данные точки на координатную плоскость и провести прямую \(\hat Y=-3.124+0.609X\).

Выборочный коэффициент корреляции:

\[ r=\frac{17.17}{\sqrt{28.188\cdot 10.84}}\approx 0.982 \]

Связь сильная и положительная: при увеличении \(X\) значение \(Y\) в среднем тоже увеличивается.

Проверим значимость корреляции при \(n=5\):

\[ t=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\approx 9.07 \]

При \(n-2=3\) степенях свободы и уровне значимости \(0.05\) критическое значение примерно \(3.18\). Так как \(9.07>3.18\), коэффициент корреляции значим.

0 0 Пожаловаться