Вычислить sin⁴α + cos⁴α·ctg²α, если tgα = 4.

Дано: \( \tg \alpha = 4 \). Тогда:

\[\ctg \alpha = \frac{1}{4}\]

Используем связь:

\[1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\]

\[1 + 4^2 = 17\]

Значит:

\[\cos^2 \alpha = \frac{1}{17}, \quad \sin^2 \alpha = \frac{16}{17}\]

Тогда:

\[\sin^4 \alpha = \left(\frac{16}{17}\right)^2 = \frac{256}{289}\]

\[\cos^4 \alpha \cdot \ctg^2 \alpha = \left(\frac{1}{17}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{289} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4624}\]

Складываем:

\[\frac{256}{289} + \frac{1}{4624} = \frac{4096}{4624} + \frac{1}{4624} = \frac{4097}{4624}\]

Ответ: \(\frac{4097}{4624}\).

0 0 Пожаловаться