Когда используется арифметический корень, а когда алгебраический? Когда строим график квадратного корня из икса или пытаемся что-то решить через монотонность, то в учебниках всегда речь идёт об арифметическом корне. При дискриминанте он алгебраический. Как быть уверенным, когда какой из корней применяется?

Путаница возникает из-за того, что словом «корень» называют две разные вещи.

Арифметический квадратный корень — это значение выражения под знаком радикала:

По определению, если $a \ge 0$, то

То есть:

а не $\pm 3$. Минус три тоже даёт 9 при возведении в квадрат, но оно не является значением символа $\sqrt{9}$. Оно является корнем уравнения $x^2=9$.

Вот главное различие:

но

То есть арифметический корень — это значение выражения $\sqrt a$, а корни уравнения — это все числа, которые удовлетворяют уравнению.

Когда строят график

имеют в виду именно арифметический корень. Поэтому график лежит только в верхней полуплоскости: $y\ge 0$. Например, при $x=4$ на графике будет точка $(4,2)$, но не $(4,-2)$.

Если бы мы рассматривали не функцию $y=\sqrt{x}$, а уравнение

то тогда решений было бы два:

Графически это уже не один верхний график, а вся «боковая парабола»:

Поэтому важно различать:

и

Первое задаёт одну функцию, второе — уравнение, у которого может быть два значения $y$ для одного $x$.

Теперь про дискриминант. В формуле

символ $\sqrt{D}$ тоже означает арифметический корень, то есть неотрицательное число.

Например, если $D=25$, то

А два корня квадратного уравнения появляются не потому, что $\sqrt{25}=\pm 5$, а потому что перед корнем стоит знак $\pm$:

То есть в формуле дискриминанта корень под радикалом всё равно арифметический. Просто сама формула учитывает оба возможных решения квадратного уравнения с помощью знака $\pm$.

Очень полезное правило:

Знак $\sqrt{\phantom{x}}$ сам по себе даёт только неотрицательное значение.
Знак $\pm\sqrt{\phantom{x}}$ даёт два значения.
Уравнение вида $x^2=a$ имеет два решения, если $a>0$.

Например:

Но:

Или: