Спальный вагон скорого поезда имеет номер 7, вагон-ресторан — номер 8, купейный вагон — номер 9. Сколькими способами можно перенумеровать эти вагоны так, чтобы каждый из них получил новый номер?

Рассмотрим задачу как перестановку трёх вагонов с номерами 7, 8, 9, где каждый вагон должен получить новый номер, отличный от своего исходного.

То есть нам нужно посчитать число перестановок, при которых ни один вагон не остаётся со своим первоначальным номером. Это классическая задача на количество беспорядков (дерangements).

Обозначим:

• вагон №7 не может остаться с номером 7,

• вагон №8 не может остаться с номером 8,

• вагон №9 не может остаться с номером 9.

Всего перестановок трёх элементов:
3! = 6.

Вычтем те, где хотя бы один элемент остаётся на месте:

• фиксируем 7 → остаются 8 и 9, они могут быть только в одном порядке, но тогда проверяем: если 7 на месте, то 8 и 9 тоже будут на своих местах или нет — получается 1 вариант.
  Аналогично:

• фиксируем 8 → 1 вариант,

• фиксируем 9 → 1 вариант.

Но случаи пересечения (когда два элемента на месте) невозможны одновременно для трёх разных элементов при перестановке без противоречий, поэтому применяем формулу дерangements:

!3 = 3! − C(3,1)·2! + C(3,2)·1! − C(3,3)·0!

= 6 − 3·2 + 3·1 − 1
= 6 − 6 + 3 − 1
= 2.

Итак, существует 2 способа перенумеровать вагоны так, чтобы ни один не остался со своим исходным номером.