Найди наибольшее значение функции f(x) = 18x/(x²+9) на отрезке [0; 5].

Рассмотрим функцию
$f(x) = \dfrac{18x}{x^2 + 9}$ на отрезке $[0;5]$.

Найдём производную:

Упростим числитель:

Тогда:

Критические точки находятся из уравнения:

На отрезке $[0;5]$ подходит только $x = 3$.

Теперь вычислим значения функции в важных точках:

• $f(0) = \frac{0}{9} = 0$

• $f(3) = \frac{18 \cdot 3}{9 + 9} = \frac{54}{18} = 3$

• $f(5) = \frac{90}{25 + 9} = \frac{90}{34} = \frac{45}{17} \approx 2.65$

Сравниваем значения:

• 0

• 3

• ≈2.65

Наибольшее значение функции на отрезке — 3, достигается при $x = 3$.