Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду и

построить данную кривую.

1. 4x^2+4y^2+8y-40x-24 = 0.

2. 3x^2+9y^2+6x-36 -33 = 0.

3. 2x^2 - 10x -3y+27 = 0.

4. 4y^2 -3x+4y+4=0.

5. x^2 - y^2 - 8х - 6y + 2 = 0.
С рисунками графиков пожалуйста

Замечание к пункту 2. В записи после (-36) нет переменной, поэтому считаем (-36) и (-33) свободными членами.

1. (4x^2+4y^2+8y-40x-24=0)

Разделим уравнение на (4):

[
x^2+y^2+2y-10x-6=0.
]

Выделим полные квадраты:

[
(x^2-10x)+(y^2+2y)=6,
]

[
(x-5)^2-25+(y+1)^2-1=6,
]

[
(x-5)^2+(y+1)^2=32.
]

Канонический вид:

[
\boxed{(x-5)^2+(y+1)^2=32}.
]

Это окружность с центром

[
C(5,-1)
]

и радиусом

[
R=\sqrt{32}=4\sqrt2.
]

Для построения отмечаем центр (C(5,-1)), затем откладываем от него расстояние (4\sqrt2) по всем направлениям.

2. (3x^2+9y^2+6x-36-33=0)

Сначала объединим свободные члены:

[
3x^2+9y^2+6x-69=0.
]

Разделим на (3):

[
x^2+3y^2+2x-23=0.
]

Выделим полный квадрат по (x):

[
x^2+2x+3y^2=23,
]

[
(x+1)^2-1+3y^2=23,
]

[
(x+1)^2+3y^2=24.
]

Разделим на (24):

[
\boxed{\frac{(x+1)^2}{24}+\frac{y^2}{8}=1}.
]

Это эллипс с центром

[
C(-1,0).
]

Большая полуось направлена вдоль оси (Ox):

[
a=\sqrt{24}=2\sqrt6,
\qquad
b=\sqrt8=2\sqrt2.
]

Вершины эллипса:

[
(-1-2\sqrt6,0), \qquad (-1+2\sqrt6,0).
]

Сопряжённые вершины:

[
(-1, -2\sqrt2), \qquad (-1, 2\sqrt2).
]

Фокусы:

[
c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{24-8}=4,
]

[
F_1(-5,0), \qquad F_2(3,0).
]

3. (2x^2-10x-3y+27=0)

Перенесём члены и выделим полный квадрат:

[
2(x^2-5x)-3y+27=0,
]

[
2\left[\left(x-\frac52\right)^2-\frac{25}{4}\right]-3y+27=0.
]

После упрощения:

[
2\left(x-\frac52\right)^2-3y+\frac{29}{2}=0,
]

[
\left(x-\frac52\right)^2=\frac32\left(y-\frac{29}{6}\right).
]

Канонический вид:

[
\boxed{\left(x-\frac52\right)^2=
\frac32\left(y-\frac{29}{6}\right)}.
]

Это парабола, ветви которой направлены вверх.

Сравниваем с видом

[
(x-x_0)^2=2p(y-y_0).
]

Получаем:

[
x_0=\frac52,\qquad y_0=\frac{29}{6},\qquad 2p=\frac32,
]

[
p=\frac34.
]

Вершина:

[
V\left(\frac52,\frac{29}{6}\right).
]

Ось симметрии:

[
x=\frac52.
]

Фокус:

[
F\left(\frac52,\frac{67}{12}\right).
]

Директриса:

[
y=\frac{49}{12}.
]

4. (4y^2-3x+4y+4=0)

Сгруппируем слагаемые с (y):

[
4(y^2+y)-3x+4=0.
]

Выделим полный квадрат:

[
4\left[\left(y+\frac12\right)^2-\frac14\right]-3x+4=0,
]

[
4\left(y+\frac12\right)^2=3(x-1).
]

Следовательно,

[
\boxed{\left(y+\frac12\right)^2=
\frac34(x-1)}.
]

Это парабола, ветви которой направлены вправо.

Сравниваем с видом

[
(y-y_0)^2=2p(x-x_0).
]

Получаем:

[
x_0=1,\qquad y_0=-\frac12,\qquad 2p=\frac34,
]

[
p=\frac38.
]

Вершина:

[
V\left(1,-\frac12\right).
]

Ось симметрии:

[
y=-\frac12.
]

Фокус:

[
F\left(\frac{11}{8},-\frac12\right).
]

Директриса:

[
x=\frac58.
]

5. (x^2-y^2-8x-6y+2=0)

Сгруппируем выражения с (x) и (y):

[
(x^2-8x)-(y^2+6y)+2=0.
]

Выделим полные квадраты:

[
(x-4)^2-16-\left[(y+3)^2-9\right]+2=0.
]

После упрощения:

[
(x-4)^2-(y+3)^2=5.
]

Разделим на (5):

[
\boxed{\frac{(x-4)^2}{5}-\frac{(y+3)^2}{5}=1}.
]

Это гипербола с центром

[
C(4,-3).
]

Так как (a^2=b^2=5), гипербола является равнобочной.

[
a=b=\sqrt5,
\qquad
c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10}.
]

Вершины:

[
(4-\sqrt5,-3),\qquad (4+\sqrt5,-3).
]

Фокусы:

[
(4-\sqrt{10},-3),\qquad (4+\sqrt{10},-3).
]

Асимптоты:

[
\boxed{y+3=x-4},
\qquad
\boxed{y+3=-(x-4)}.
]

Или в более простом виде:

[
y=x-7,
\qquad
y=-x+1.
]

Ветви гиперболы направлены влево и вправо.