Найдите остаток от деления многочлена f(x)=x³+x на многочлен p(x)=x²+x+1.

Нужно найти остаток от деления

на многочлен

Так как делитель имеет вторую степень, остаток будет иметь вид линейного многочлена:

Используем условие, что при делении по модулю $p(x)$:

Отсюда получаем:

Теперь найдём $x^3$:

Подставляем вместо $x^2$:

Значит, в выражении $f(x)$ имеем:

Следовательно, после деления многочлена $x^3+x$ на $x^2+x+1$ остаток равен:

Проверка делением:

После раскрытия скобок:

и добавляя остаток:

Значит, остаток действительно равен $\boxed{x+1}$.