Точки D и E делят стороны треугольника ABC в отношении AD:DC=3:1 и CE:BE=2:3. Найдите площадь треугольника ABM, где M — точка пересечения прямых AE и BD, если площадь треугольника ABE равна 6.

Дано:

• Треугольник $ABC$.

• Точка $D$ лежит на стороне $AC$, причём $AD:DC=3:1$.

• Точка $E$ лежит на стороне $BC$, причём $CE:BE=2:3$.

• Прямые $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $M$.

• Площадь треугольника $ABE$ равна $6$.

Найти: площадь треугольника $ABM$.

Решение

1. Найдём отношение $AM:ME$.

Рассмотрим треугольник $ACE$. Прямая $BD$ пересекает сторону $AC$ в точке $D$, сторону $AE$ в точке $M$ и продолжение стороны $CE$ в точке $B$.

По теореме Менелая:

По условию:

Так как $CB=CE+BE$, получаем:

Подставим найденные отношения в теорему Менелая:

Отсюда:

Следовательно,

2. Найдём площадь треугольника $ABM$.

Треугольники $ABM$ и $ABE$ имеют общую вершину $B$, а их основания $AM$ и $AE$ лежат на одной прямой.

Значит, высоты, проведённые из вершины $B$ к этим основаниям, одинаковы.

Поэтому площади треугольников относятся как их основания:

Поскольку $AM:ME=5:1$, весь отрезок $AE$ состоит из $6$ равных частей, из которых $AM$ составляет $5$.

Таким образом,