Множество X = {(x, y) ∈ R²: x² + y² ≥ 4} является… Выберите один или несколько ответов: ограниченным, несвязным, связным, областью, замкнутым, неограниченным, открытым.

Правильные ответы: связным, замкнутым, неограниченным.

Рассмотрим множество:

Неравенство $x^2+y^2\geq 4$ означает, что расстояние от точки $(x,y)$ до начала координат не меньше 2.

Геометрически множество $X$ представляет собой внешнюю часть круга радиуса 2 с центром в начале координат, включая его границу (окружность).

Разберём каждый вариант ответа.

1. Ограниченным — неверно. Множество содержит точки, расположенные сколь угодно далеко от начала координат. Следовательно, оно не является ограниченным.

2. Несвязным — неверно. Любые две точки множества можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве. Поэтому оно связно.

3. Связным — верно. Множество представляет собой единую связную часть плоскости, расположенную вне круга радиуса 2.

4. Областью — неверно. В математическом анализе областью называют открытое связное множество. Наше множество связно, но не открыто, поскольку содержит окружность $x^2+y^2=4$.

5. Замкнутым — верно. Множество содержит все свои граничные точки, то есть всю окружность $x^2+y^2=4$. Кроме того, оно является прообразом замкнутого множества $[4,+\infty)$ при непрерывной функции $f(x,y)=x^2+y^2$.

6. Неограниченным — верно. Координаты точек множества могут быть сколь угодно большими по абсолютной величине. Например, точки $(n,0)$ принадлежат множеству при любом $n\geq 2$.

7. Открытым — неверно. Точки окружности $x^2+y^2=4$ принадлежат множеству, но любая их окрестность содержит точки, не принадлежащие $X$. Следовательно, множество не является открытым.

Итог: необходимо выбрать три варианта:

• ✅ Связным

• ✅ Замкнутым

• ✅ Неограниченным