Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x) - 5e^x - 2 на отрезке [-2; 1].

Решение.

Найдем наименьшее значение функции

на отрезке $[-2;1]$.

1. Найдем производную функции.

Вынесем $e^x$ за скобки:

2. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю:

Так как $e^x>0$ при любом $x$, получаем:

Прологарифмируем обе части:

Проверим, принадлежит ли эта точка заданному отрезку:

Следовательно, критическая точка находится внутри отрезка.

3. Определим характер экстремума.

Рассмотрим знак производной:

• При $x<\ln\frac52$ производная отрицательна, функция убывает.

• При $x>\ln\frac52$ производная положительна, функция возрастает.

Значит, в точке

функция достигает минимума.

4. Найдем значение функции в этой точке.

Подставим $e^x=\frac52$ в исходную функцию:

Поскольку $e^{2x}=(e^x)^2$, получаем:

Приведем к общему знаменателю:

Ответ:

Наименьшее значение функции на отрезке $[-2;1]$ равно −8,25 и достигается при $x=\ln\frac52$.