Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 4x - 4y - x^2 - y^2 в замкнутой области, ограниченной линиями x + 2y = 4, x - 2y = 4, x = 0.

Область — треугольник с вершинами \((0;2)\), \((0;-2)\), \((4;0)\).

Внутренняя критическая точка функции:

\[4-2x=0,\qquad -4-2y=0\]

\[x=2,\qquad y=-2\]

Она не принадлежит данной области, поэтому проверяем стороны треугольника.

На стороне \(x+2y=4\) наибольшее значение достигается при \(x=\frac{16}{5}\), \(y=\frac{2}{5}\):

\[z_{\max}=\frac{4}{5}\]

Наименьшее значение для такой функции достаточно проверить в вершинах:

\[z(0;2)=-12,\qquad z(0;-2)=4,\qquad z(4;0)=0\]

Ответ: наибольшее значение \(\frac{4}{5}\) при \(\left(\frac{16}{5};\frac{2}{5}\right)\); наименьшее значение \(-12\) при \((0;2)\).

0 0 Пожаловаться