Найдите наименьшее значение функции y = (x − 3)²(x + 1) + 2 на отрезке [−1; 5].

Положим \(t=x-3\). Тогда \(t\in[-4;2]\), а функция имеет вид:

\[y=t^2(t+4)+2=t^3+4t^2+2.\]

Найдём производную:

\[y'=3t^2+8t=t(3t+8).\]

Критические точки: \(t=0\) и \(t=-\frac{8}{3}\). Проверим их и концы отрезка:

• при \(t=-4\): \(y=2\);
• при \(t=-\frac{8}{3}\): \(y=\frac{310}{27}\);
• при \(t=0\): \(y=2\);
• при \(t=2\): \(y=26\).

Наименьшее значение функции равно \(2\). Оно достигается при \(x=-1\) и \(x=3\).

0 0 Пожаловаться