Решите уравнение: 1/tg^2 x – 1/sin x = 1

Область допустимых значений: \( \sin x\ne0 \), \( \tg x\ne0 \), а также \( \tg x \) должна быть определена.

Используем тождество:

\[ \frac{1}{\tg^2x}=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1-\sin^2x}{\sin^2x}=\frac{1}{\sin^2x}-1. \]

Тогда:

\[ \frac{1}{\sin^2x}-1-\frac{1}{\sin x}=1. \]

Умножим на \( \sin^2x \):

\[ 1-\sin x-2\sin^2x=0. \]

\[ 2\sin^2x+\sin x-1=0. \]

\[ (2\sin x-1)(\sin x+1)=0. \]

Получаем \( \sin x=\frac12 \) или \( \sin x=-1 \). Значение \( \sin x=-1 \) не подходит, потому что при этом \( \tg x \) не определён.

Ответ: \( x=\frac{\pi}{6}+2\pi k \) или \( x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k \), где \( k\in\mathbb{Z} \).

0 0 Пожаловаться