Математический маятник длиной 1 м совершает колебания с амплитудой 2 см. Найдите тангенциальные ускорения маятника в крайних положениях и в положении равновесия.

Для того чтобы найти тангенциальное ускорение математического маятника, нужно использовать формулу для тангенциального ускорения маятника:

где:

• $a_t$ — тангенциальное ускорение,

• $g$ — ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²),

• $L$ — длина маятника (1 м),

• $\theta$ — угловое отклонение маятника от вертикали.

1. В крайних положениях (амплитуда 2 см = 0,02 м):

   В крайних положениях маятник отклоняется на максимальный угол, соответствующий амплитуде. Амплитуда $\theta_{max}$ может быть выражена через амплитуду перемещения $A$, используя приближённую формулу для малого угла:

   $$A = L \cdot \sin(\theta_{max}) \Rightarrow \sin(\theta_{max}) = \frac{A}{L}$$

   Подставляем значения:

   $$\sin(\theta_{max}) = \frac{0,02}{1} = 0,02$$

   Таким образом, угловое отклонение в крайних положениях $\theta_{max} \approx \sin^{-1}(0,02)$, что примерно равно 1,145°.

   Тангенциальное ускорение в крайних положениях будет максимальным, так как синус угла будет максимальным:

   $$a_t = \frac{g}{L} \cdot \sin(\theta_{max}) = \frac{9,8}{1} \cdot 0,02 = 0,196 \, \text{м/с}^2$$

2. В положении равновесия:

   В положении равновесия маятник находится в вертикальном положении, то есть угловое отклонение $\theta = 0$. В этом случае:

   $$a_t = \frac{g}{L} \cdot \sin(0) = 0$$

   Таким образом, тангенциальное ускорение в положении равновесия равно нулю, потому что синус нуля равен нулю.

Итак, тангенциальные ускорения маятника:

• в крайних положениях — 0,196 м/с²,

• в положении равновесия — 0 м/с².