Пружинный пистолет стреляет вертикально вверх шариками массой 2,25 г. На какую высоту пистолет подбросит шарик, если жёсткость пружины k = 90 Н/м, а деформация пружины l = 3 см? С какой скоростью шарик вылетает?

Для решения задачи используем закон сохранения энергии и формулы для работы с пружинами.

1. Нахождение скорости при вылете шарика:

Когда пружина сжимается на определённую величину, её потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию шарика. Для этого используем формулы:

• Потенциальная энергия сжатой пружины:

  $$E_{\text{пружины}} = \frac{1}{2} k l^2$$

  где:

  • $k = 90 \, \text{Н/м}$ — жёсткость пружины,

  • $l = 3 \, \text{см} = 0,03 \, \text{м}$ — деформация пружины.

  Подставляем значения:

  $$E_{\text{пружины}} = \frac{1}{2} \times 90 \times (0,03)^2 = \frac{1}{2} \times 90 \times 0,0009 = 0,0405 \, \text{Дж}$$

• Эта энергия при вылете из пистолета превращается в кинетическую энергию шарика:

  $$E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} m v^2$$

  где $m = 2,25 \, \text{г} = 0,00225 \, \text{кг}$ — масса шарика, $v$ — скорость шарика при вылете.

  Приравниваем потенциальную энергию пружины и кинетическую энергию:

  $$\frac{1}{2} m v^2 = E_{\text{пружины}}$$

  Подставляем значения:

  $$\frac{1}{2} \times 0,00225 \times v^2 = 0,0405$$

  Умножаем обе стороны на 2:

  $$0,00225 \times v^2 = 0,081$$

  Делим на 0,00225:

  $$v^2 = \frac{0,081}{0,00225} = 36$$

  Извлекаем квадратный корень:

  $$v = 6 \, \text{м/с}$$

  Таким образом, скорость шарика при вылете составляет 6 м/с.

2. Нахождение максимальной высоты подъёма шарика:

Когда шарик поднимется на максимальную высоту, его кинетическая энергия полностью перейдёт в потенциальную энергию в поле тяжести:

где $h$ — высота подъёма, $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения.

Кинетическая энергия при вылете равна потенциальной энергии на высоте $h$:

Сокращаем $m$ на обеих сторонах:

Подставляем значения:

Решаем для $h$:

Таким образом, максимальная высота подъёма шарика составляет 1,84 м.