Прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника, параллельна одной из боковых сторон. Докажите, что треугольник равнобедренный.

Для того чтобы доказать, что треугольник равнобедренный, предположим, что у нас есть равнобедренный треугольник, в котором прямая, пересекающая основание, параллельна одной из боковых сторон.

Обозначим треугольник как $ABC$, где $AB = AC$ — боковые стороны треугольника, а $BC$ — основание. Пусть прямая $DE$, которая пересекает основание $BC$, параллельна боковой стороне $AB$ (или $AC$). Мы должны доказать, что такой треугольник также будет равнобедренным.

1. Пусть прямая $DE$ параллельна стороне $AB$. Это означает, что углы, которые образуют эти прямые с основанием $BC$, будут равны. Обозначим угол при вершине $D$ как $\angle DBC$ и угол при вершине $E$ как $\angle EBC$.

2. Параллельность прямых $DE$ и $AB$ гарантирует, что $\angle DBC = \angle ABC$, а также $\angle CDE = \angle CAB$, так как противоположные углы при параллельных прямых и секущей всегда равны.

3. Таким образом, треугольники $DBC$ и $ABC$ подобны по признаку равенства углов (по углам: $\angle DBC = \angle ABC$ и $\angle CDE = \angle CAB$).

4. Поскольку треугольники $DBC$ и $ABC$ подобны, то их соответствующие стороны пропорциональны. Это значит, что $DB / AB = BC / AC$.

5. Однако, по определению подобия треугольников, пропорциональность сторон означает, что $DB = BC$, и, следовательно, $AB = AC$.

Таким образом, мы доказали, что если прямая, пересекающая основание равнобедренного треугольника, параллельна одной из боковых сторон, то треугольник действительно равнобедренный.