Найдите все простые числа \( p \) и \( q \) такие, что \( p + q = (p - q)^3 \).

Задача состоит в нахождении всех простых чисел $p$ и $q$, которые удовлетворяют уравнению:

Шаг 1: Введение обозначений

Для удобства обозначим разницу между числами $p$ и $q$ как $d$, то есть:

Тогда $p = q + d$, и уравнение примет вид:

Преобразуем его:

Шаг 2: Решение уравнения

Теперь у нас есть уравнение:

Из этого следует:

Шаг 3: Проверка для разных значений $d$

Поскольку $q$ должно быть простым числом, проверим различные значения $d$, начиная с небольших целых чисел.

Когда $d = 1$:

Но $q = 0$ не является простым числом, поэтому $d = 1$ не подходит.

Когда $d = 2$:

$q = 3$ — простое число. Теперь найдем $p$:

$p = 5$ — тоже простое число. Таким образом, $p = 5$ и $q = 3$ — одно решение.

Когда $d = 3$:

$q = 12$ не является простым числом, поэтому $d = 3$ не подходит.

Когда $d = 4$:

$q = 30$ не является простым числом, поэтому $d = 4$ не подходит.

Когда $d = 5$:

$q = 60$ не является простым числом, поэтому $d = 5$ не подходит.

Когда $d = 6$:

$q = 105$ не является простым числом, поэтому $d = 6$ не подходит.

Шаг 4: Заключение

Единственная пара простых чисел $p$ и $q$, удовлетворяющая уравнению $p + q = (p - q)^3$, это $p = 5$ и $q = 3$.