Посаженные заботливыми руками деревья: тополь, акация, а также дикорастущий клен зеленели приветливо и свежо. Синицы, скворцы, живущие в наших лесах – истребители вредных насекомых. Нехлюдов смотрел на освещенный луной сад и крышу, и на тень тополя, и вдыхал живительный свежий воздух. Боры и дубравы, березняки с живописными озерами все больше привлекают горожан. Белые облака, бор, тянувшийся по сторонам дороги, - все радовало глаз. По вечерам дедушка смотрел телевизор или читал, или уходил в театр, или к соседу поиграть в шахматы.

Разберу все предложения по порядку и укажу, где ошибки, а где всё нормально, и как лучше оформить.

1.
«Посаженные заботливыми руками деревья: тополь, акация, а также дикорастущий клен зеленели приветливо и свежо.»

Здесь ошибка в знаке препинания после слова «деревья».
Перед нами пояснительное приложение-перечисление: какие именно деревья? — тополь, акация, дикорастущий клён. Такое уточнение обычно выделяется тире, а не двоеточием, и, поскольку оно стоит между подлежащим и сказуемым, лучше взять его с двух сторон тире.

Правильный вариант:

Посаженные заботливыми руками деревья — тополь, акация, а также дикорастущий клён — зеленели приветливо и свежо.

2.
«Синицы, скворцы, живущие в наших лесах – истребители вредных насекомых.»

Здесь ошибка в оформлении причастного оборота.
Оборот «живущие в наших лесах» относится к словам «синицы, скворцы» и должен обособляться с двух сторон, потому что стоит внутри группы подлежащего.

Нужно так:

Синицы, скворцы, живущие в наших лесах, – истребители вредных насекомых.

То есть запятая после слова «лесах» обязательна.

3.
«Нехлюдов смотрел на освещенный луной сад и крышу, и на тень тополя, и вдыхал живительный свежий воздух.»

Здесь две группы однородных членов:

• однородные дополнения: на сад и крышу, на тень тополя;

• однородные сказуемые: смотрел и вдыхал.

Запятая между однородными членами с повторяющимся союзом «и» обычно не ставится. Запятая нужна только там, где союз соединяет части с разными грамматическими центрами (здесь — разные сказуемые: смотрел и вдыхал).

Поэтому запятая перед «и на тень тополя» лишняя, а перед «и вдыхал» — нужна.

Лучший вариант:

Нехлюдов смотрел на освещённый луной сад и крышу и на тень тополя, и вдыхал живительный свежий воздух.

4.
«Боры и дубравы, березняки с живописными озерами все больше привлекают горожан.»

Здесь всё нормально.
Подлежащее сложное:

• первая часть: боры и дубравы (однородные члены с союзом «и»),

• вторая часть: березняки с живописными озёрами.

Они соединены между собой запятой:

Боры и дубравы, березняки с живописными озёрами всё больше привлекают горожан.

Дополнительной запятой между «озёрами» и «всё» не нужно: «всё больше привлекают» — это обстоятельство степени + сказуемое.

5.
«Белые облака, бор, тянувшийся по сторонам дороги, - все радовало глаз.»

Смысл такой: всё (что именно? — белые облака, бор, тянувшийся по сторонам дороги) радовало глаз.

Структура правильная:

• «бор, тянувшийся по сторонам дороги» — один член с причастным оборотом, он обособлен запятыми;

• далее тире перед обобщающим словом «всё», которое является подлежащим;

• сказуемое «радовало» стоит в форме среднего рода — это согласуется с «всё».

Единственное, я бы использовал длинное тире, но это уже типографика, а не ошибка.

Нормальный вариант записи:

Белые облака, бор, тянувшийся по сторонам дороги, — всё радовало глаз.

Пунктуация по сути верная.

6.
«По вечерам дедушка смотрел телевизор или читал, или уходил в театр, или к соседу поиграть в шахматы.»

Здесь явно «плывёт» построение ряда однородных сказуемых и союзов.

Если мы хотим подчеркнуть перечень вариантов действий, то лучше оформить его как цепочку с повторяющимся союзом «или... или... или...». Тогда между частями ставятся запятые.

Нормативно и логично так:

По вечерам дедушка или смотрел телевизор, или читал, или уходил в театр, или к соседу поиграть в шахматы.

Тогда у нас четыре однородных сказуемых (или сказуемых с зависимыми словами), соединённых повторяющимся союзом «или», и запятые разделяют элементы ряда.

В исходном же варианте первая часть («смотрел телевизор или читал») оформлена без начального «или», а далее идёт уже «или..., или...» с запятыми — конструкция получается невыстроенной, поэтому её лучше исправить, как показано выше.

Итог:
Ошибки в исходной пунктуации есть в предложениях 1, 2, 3 и 6.
Предложения 4 и 5 с точки зрения постановки знаков препинания можно считать правильными (учитывая норму школьной грамматики).