Как проверить слово "мириться"?

Коротко: смотрим на значение.

Если речь о примирении («переставать ссориться»), пишем И: мириться.
Проверяем корень МИР- однокоренными словами с ударной гласной: мИр, мИрный, примирЕние, помИрить(ся). Здесь смысл — «мир, согласие», поэтому И.

Для контраста: мериться — это «сравниваться, соревноваться» (мериться силами, ростом). Тут корень МЕР- от мЕрить/измЕрить, поэтому Е.

Итого:

• «После ссоры они мирятся» — от мир, пишем И.

• «Команды мерятся силами» — от мерить, пишем Е.