Найдите аналитическое выражение для функции f(x), если известно, что 2f(x) + f(1-x) = x^2

Дано:

\[2f(x)+f(1-x)=x^2\]

Заменим \(x\) на \(1-x\):

\[2f(1-x)+f(x)=(1-x)^2\]

Обозначим \(f(x)=A\), \(f(1-x)=B\). Тогда:

\[2A+B=x^2\]

\[A+2B=(1-x)^2\]

Из первого уравнения \(B=x^2-2A\). Подставим:

\[A+2(x^2-2A)=(1-x)^2\]

\[-3A=1-2x-x^2\]

\[A=\frac{x^2+2x-1}{3}\]

Так как \(A=f(x)\), получаем:

\[f(x)=\frac{x^2+2x-1}{3}\]

0 0 Пожаловаться