Какие множества называют равномощными? Докажите, что следующие множества равномощны:
1) [3;8] и [0;4]
2) [0;4] и [0;4)

Равномощными называют множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие: каждому элементу первого множества соответствует ровно один элемент второго, и наоборот.

1) \([3;8]\) и \([0;4]\)

Эти отрезки равномощны. Например, можно задать соответствие формулой:

\[ y=\frac{4}{5}(x-3) \]

Если \(x=3\), то \(y=0\). Если \(x=8\), то \(y=4\). Каждой точке отрезка \([3;8]\) соответствует ровно одна точка отрезка \([0;4]\), значит, множества равномощны.

2) \([0;4]\) и \([0;4)\)

Они тоже равномощны, хотя первое множество содержит правый конец \(4\), а второе нет. Это бесконечные множества точек, и для них можно переставить счётное число точек так, чтобы «освободить место» для точки \(4\).

Например, оставим все точки, кроме \(0,1,2,3,4\), на месте, а эти точки сопоставим так:

\[4\mapsto 0,\quad 0\mapsto 1,\quad 1\mapsto 2,\quad 2\mapsto 3,\quad 3\mapsto \frac{7}{2}\]

Все остальные точки переходят сами в себя. Так получается взаимно однозначное соответствие между \([0;4]\) и \([0;4)\), значит, эти множества равномощны.

0 0 Пожаловаться