Друзья Митя и Дима копили на конструкторы ЛЕГО. В начале года у каждого из них была одна и та же сумма. Но сбережения Димы росли на 50% каждый месяц, а сбережения Мити — на 20% в нечётные месяцы и на 25% в чётные. Дима накопил на конструктор за 8 месяцев. А сколько месяцев понадобилось Мите, чтобы накопить на такой же конструктор?

Пусть начальная сумма у каждого — \( S \). Дима каждый месяц увеличивает сбережения на 50%, поэтому через 8 месяцев у него \( S \cdot 1.5^8 \). Это стоимость конструктора \( C \).

Вычислим: \( 1.5^8 = (1.5^4)^2 = 5.0625^2 = 25.62890625 \). Значит, \( C = S \cdot 25.62890625 \).

У Мити в нечётные месяцы рост 20% (умножение на 1.2), в чётные — 25% (на 1.25). За \( n \) месяцев количество нечётных месяцев равно \( \lceil n/2 \rceil \), чётных — \( \lfloor n/2 \rfloor \). Тогда сбережения Мити: \( S \cdot 1.2^{\lceil n/2 \rceil} \cdot 1.25^{\lfloor n/2 \rfloor} \).

Нужно, чтобы это было не меньше \( C \), то есть \( 1.2^{\lceil n/2 \rceil} \cdot 1.25^{\lfloor n/2 \rfloor} \ge 1.5^8 \).

Заметим, что \( 1.2 \cdot 1.25 = 1.5 \). Если число нечётных и чётных месяцев одинаково (то есть \( n \) чётное), то произведение равно \( (1.2 \cdot 1.25)^{n/2} = 1.5^{n/2} \). Тогда условие: \( 1.5^{n/2} \ge 1.5^8 \), откуда \( n/2 \ge 8 \), \( n \ge 16 \). При \( n = 16 \) получаем ровно \( 1.5^8 \). Значит, Мите понадобилось 16 месяцев.

Ответ: 16 месяцев.

0 0 Пожаловаться