Геометрическая прогрессия.
Пусть {bₙ} — возрастающая геометрическая прогрессия с положительными членами.
Найдите её знаменатель, если b₄ - b₁ = 14 и b₃ - b₂ = 4.

Пусть первый член прогрессии равен \(a\), а знаменатель — \(q\). Так как прогрессия возрастающая и все члены положительные, \(q > 1\).

Тогда:

\[b_1 = a,\quad b_2 = aq,\quad b_3 = aq^2,\quad b_4 = aq^3\]

По условию:

\[a(q^3 - 1)=14\]

\[aq(q-1)=4\]

Разделим первое равенство на второе:

\[\frac{a(q^3-1)}{aq(q-1)}=\frac{14}{4}\]

Так как \(q^3-1=(q-1)(q^2+q+1)\), получаем:

\[\frac{q^2+q+1}{q}=\frac{7}{2}\]

\[2q^2-5q+2=0\]

Корни уравнения:

\[q=2 \quad \text{или} \quad q=\frac{1}{2}\]

Так как прогрессия возрастающая, берём \(q=2\).

Ответ: \(2\).

0 0 Пожаловаться